FlashCards

Геометрия - наука, занимающаяся изучением геометрических фигур

Планиметрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Общая задача геометрии

зная одни свойства фигуры - определить другие

Первая задача геометрии

Первая задача геометрии - cравнение фигур.

Какие размеры достаточно знать, чтобы судить равны, фигуры или нет?

Чтобы не измерять всё, а как можно меньше.

Аксиома

1. Это утверждение не требующее доказательств.

2. Это основные свойства простейших фигур.

Теорема

Утверждение требующее доказательства.

При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

Определение

Дать определение чему-либо - значит

объяснить, что это такое.

Фигура в геометрии - это

1. мысленный образ предмета, в котором сохраняется только форма и размеры, и только они принимаются во внимание.

2. часть плоскости, которая ограничена со всех сторон линиями.

Пример: Отрезок - это образ нити.

Две фигуры равны ...

Две фигуры равны

если они совпадут при наложении

ПРОСТЕЙШИЕ ФИГУРЫ

Точка

Точка - это

абстрактный(не существующий в реальности) объект, который не имеет ни высоты, ни длины.

Точки обозначаются БОЛЬШИМИ латинскими буквами.

Линия

Линия - это

геометрическая фигура, которая может быть получена в результате непрерывного перемещения точки.

Виды линий: прямая, кривая, ломаная, луч

Прямая

Прямая - это

бесконечная линия которая не искривляется.

Прямые обозначаются МАЛЫМИ латинскими буквами.

Строится по двум точкам.

Отрезок

Отрезок -

часть прямой, заключенная между двумя точками.

Луч (полупрямая) это

часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца

Обозначают малой латинской буквой либо двумя большими: начало луча и точку на нём.

Угол - это

два луча, исходящие из одной точки

Биссектриса - это

ЛУЧ, исходящий из угла и делящий его на два равных угла.

Диагональ - это

отрезок соединяющий противоположные углы.

Перпендикулярные прямые -

пересекаются под прямым углом.

Перпендикуляр к прямой - это

ОТРЕЗОК находящийся на прямой, перпендикулярной к данной

и имеет точку пересечения с ней одим из своих концов.

ЛИНИИ

Ломаная линия

Ломаная линия -

последовательное соединение нескольких отрезков, под углами отличными от 180°.

Замкнутая / НЕзамкнутая линия

Замкнутая линия - когда

начало и конец совпадают, если нет, то "незамкнутая".

Простая ломаная / С самопересечением

Простая ломаная

не имеет самопересечений

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Многоугольник называется невыпуклым -

если он лежит по разные стороны от прямой проходящей через две его соседние вершины

Фигуры

Многоугольник

Многоугольник - это

замкнутая ломаная линия (без самопересечений)

УГЛЫ

Прямой угол

равен 90 градусов

Острый угол

меньше 90 градусов

Тупой угол

больше 90 градусов

Развёрнутый угол

угол, стороны которого лежат на одной прямой, а его градусная мера равна 180°.

Смежный угол

Два угла, у которых одна общая сторона, а две другие являются дополнительными лучами, называют смежными

Сумма смежных углов 180°

Вертикальные углы

РАВНЫ

стороны одного угла являются продолжениями другого

Внешний угол треугольника

при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Внутренние односторонние углы

Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренние односторонние

Внутренние накрест лежащие углы

Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренние накрест лежащие

Соответственные углы

Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей

Параллельность прямых

Две прямые, параллельные третьей, ...

Две прямые, параллельные третьей,

параллельны друг другу

Если a||c и b||c, то a||b.

Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Если внутренние накрест лежащие углы равны

Если внутренние накрест лежащие углы равны,

1. то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

2. то прямые параллельны

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°,

1. то внутренние накрест лежащие углы равны.

2. то прямые параллельны

Две прямые, перпендикулярные третьей,

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны

Если соответственные углы равны, то прямые

Если соответственные углы равны, то прямые паралельны

Аксиомы

Через любые две точки можно провести ...

Через любые две точки можно провести

прямую, и притом только ОДНУ.

Из трёх точек на прямой одна и только одна ...

лежит между двумя другими.

Длина отрезка равна

СУММЕ длин его частей.

Прямая разбивает плоскость на

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.

Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны если у них

равны две стороны и угол между ними.

Треугольники равны если у них

равны сторона и прилежащие к ней углы.

Треугольники равны если у них

равны все три стороны

Теоремы

Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то

она пересекает только одну из двух других сторон.

Прямая a разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки A и B лежат в разных по луплоскостях, так как отрезок AB пересекает прямую a. Точка C лежит в одной из этих полуплоскостей. Если точка C лежит в одной полуплоскости с точкой A, то отрезок AC не пересекает прямую a, а отрезок BC пересекает эту прямую. Если точка C лежит в одной полуплоскости с точкой B, то отрезок AC пересекает прямую a, а отрезок BC не пересекает её. В обоих случаях прямая a пересекает только один из отрезков AC или BC. Вот и всё доказательство.

В равнобедренном треугольнике углы при основании

равны

В равнобедренном треугольнике МЕДИАНА, проведённая к основанию, является

биссектрисой, высотой

Если в треугольнике два угла равны, то

Если в треугольнике два угла равны, то он

равнобедренный

--------

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Подобные треугольники — это

Подобные треугольники

треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

△ABC ~ △A₁B₁C₁

Коэффициент подобия

Отношение сходственных сторон подобных треугольников — постоянное число k.

A₁B₁ / AB = B₁C₁ / BC = k

I признак подобия (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ ⇒ △ABC ~ △A₁B₁C₁

II признак подобия (по двум сторонам и углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны.

III признак подобия (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Подобие прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника подобны, если у них пропорциональны катет и гипотенуза.

Или по любому из общих признаков подобия (УУ, СУС, ССС).

Отношение периметров

Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

P₁ / P = k

Отношение площадей

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

S₁ / S = k²

Наглядно: k = 2 → S₁ = 4S

Если коэффициент подобия равен 2, то площадь большего треугольника в 4 раза больше.

k = 2 ⇒ S₁ = k² · S = 4S

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах пропорциональные отрезки.

AB / BC = A₁B₁ / B₁C₁

Теорема Фалеса в треугольнике

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает треугольник, подобный данному.

MN ∥ BC ⇒ AM/MB = AN/NC

Средняя линия и подобие

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия ½.

△AMN ~ △ABC, k = ½

Обобщённая теорема Фалеса

Если две прямые пересекают несколько параллельных прямых, то отрезки на одной прямой пропорциональны отрезкам на другой.

AB / BC = A₁B₁ / B₁C₁

Высота из прямого угла

Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два подобных ему треугольника.

△ABH ~ △ACH ~ △ABC

Метрические соотношения

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Из подобия треугольников следуют формулы:

h² = aₕ · bₕ

a² = c · aₕ, b² = c · bₕ

Подобие в трапеции

Треугольники, образованные диагоналями трапеции и её основаниями, подобны.

△AOD ~ △COB, AO/OC = AD/CB

Подобие в окружности

Треугольники, образованные пересекающимися хордами, подобны по двум углам (вписанные углы).

△APC ~ △DPB ⇒ AP·PB = CP·PD

Применение: измерение высоты

Высоту высокого объекта можно найти через подобие треугольников, измерив его тень и тень известного предмета.

H / L = h / l

Построение

Середина отрезка

Провести две окружности радиусом = длине отрезка.

Через точки пересечений окружностей провести прямую.

Точка пересечения прямой и отрезка - середина.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Трапеция — это

четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны BC и AD — основания, непараллельные AB и CD — боковые стороны.

Основания и боковые стороны

Основания — параллельные стороны (BC и AD).

Боковые стороны — непараллельные стороны (AB и CD).

Равнобедренная трапеция —

Равнобедренная трапеция

трапеция, у которой боковые стороны равны (AB = CD).

Углы при каждом основании равны: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

Прямоугольная трапеция —

Прямоугольная трапеция

трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Такая боковая сторона одновременно является высотой.

Высота трапеции —

Высота трапеции

перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Средняя линия трапеции —

Средняя линия трапеции

отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

MN ∥ AD ∥ BC

Средняя линия равна

полусумме оснований:

m = (a + b) / 2

Диагонали трапеции

пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении длин оснований.

Точка пересечения делит диагонали пропорционально: AO/OC = BO/OD = AD/BC.

Сумма углов при боковой стороне

Сумма углов при каждой боковой стороне

равна 180° (как внутренние односторонние при параллельных прямых).

∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180°

Углы равнобедренной трапеции

при каждом основании равны:

∠A = ∠D, ∠B = ∠C

Площадь трапеции равна

Площадь трапеции

произведению полусуммы оснований на высоту:

S = (a + b) · h / 2

Вписанная окружность

Окружность вписана в трапецию, если

она касается всех её сторон.

Условие: сумма оснований равна сумме боковых сторон.

AD + BC = AB + CD

Описанная окружность

Окружность описана около трапеции, если

все её вершины лежат на окружности.

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Отрезок между серединами диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.

MN = (AD − BC) / 2

M — середина AC, N — середина BD. Точки M и N лежат на средней линии трапеции.

Треугольники

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх соединяющих их отрезков.

Треугольник — это

геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.

Точки A, B, C — вершины, отрезки AB, BC, CA — стороны, ∠A, ∠B, ∠C — углы.

Остроугольный треугольник —

Остроугольный треугольник

треугольник, у которого все углы острые (меньше 90°).

Тупоугольный треугольник —

Тупоугольный треугольник

треугольник, у которого один угол тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник —

Прямоугольный треугольник

треугольник, у которого один угол прямой (равен 90°).

Стороны, образующие прямой угол — катеты. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза.

Равнобедренный треугольник —

Равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны — боковые, третья — основание. Углы при основании равны.

Равносторонний треугольник —

Равносторонний треугольник

треугольник, у которого все три стороны равны.

Все углы равны 60°.

Медиана треугольника —

Медиана треугольника

отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В треугольнике три медианы, они пересекаются в одной точке — центроиде.

Биссектриса треугольника —

Биссектриса треугольника

отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны.

Все три биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

Высота треугольника —

Высота треугольника

перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Сумма углов треугольника

равна 180°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Внешний угол треугольника

равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

∠CBD = ∠A + ∠C

Неравенство треугольника

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

a + b > c

I признак равенства (СУС)

I признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то такие треугольники равны.

II признак равенства (УСУ)

II признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то такие треугольники равны.

III признак равенства (ССС)

III признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a² + b² = c²

Свойство равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой.

Точка пересечения медиан

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке — центроиде.

Центроид делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Теоремы о треугольниках

Дополнительные теоремы: средняя линия, соотношения сторон и углов, замечательные точки, формулы площади.

Теорема о средней линии

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

MN ∥ AB, MN = ½·AB

Катет против угла 30°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

BC = ½·AB

Медиана к гипотенузе

Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

AM = ½·BC

Соотношение сторон и углов

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот: против большего угла лежит большая сторона.

Свойство биссектрисы

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BD / DC = AB / AC

Теорема о высотах

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре.

В остроугольном треугольнике ортоцентр внутри, в тупоугольном — вне.

Центр вписанной окружности

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности (инцентре).

Центр описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

c² = a² + b² − 2ab·cos γ

Формула Герона

Площадь треугольника через три стороны:

S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))

где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.

Площадь через вписанную окружность

Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

S = p · r

Площадь через описанную окружность

Площадь треугольника через произведение сторон и радиус описанной окружности:

S = a·b·c / (4R)

Сумма углов n-угольника

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна:

(n − 2) · 180°

Получается разбиением n-угольника на (n − 2) треугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Не зависит от n!

Векторы

Вектор — направленный отрезок. Обозначается a⃗ или AB: первая буква — начало, вторая — конец.

Вектор — это

направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Начало — точка A, конец — точка B. Вектор обозначается AB или одной строчной буквой со стрелкой: a⃗.

Длина (модуль) вектора

— это длина отрезка, изображающего вектор.

|a⃗| = AB

Модуль — всегда неотрицательное число.

Нулевой вектор —

Нулевой вектор

вектор, у которого начало совпадает с концом.

|0⃗| = 0

Направление нулевого вектора не определено.

Коллинеарные векторы —

Коллинеарные векторы

векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

Бывают сонаправленные (a⃗ ↑↑ b⃗) и противоположно направленные (a⃗ ↑↓ b⃗).

Равные векторы —

Равные векторы

векторы, которые сонаправлены и имеют равные модули.

Равные векторы можно совместить параллельным переносом.

Противоположные векторы —

Противоположные векторы

векторы, имеющие равные модули и противоположные направления.

−a⃗: |−a⃗| = |a⃗|

Сложение: правило треугольника

Чтобы сложить a⃗ и b⃗, нужно начало второго вектора совместить с концом первого. Тогда сумма — вектор из начала первого в конец второго.

AB + BC = AC

Сложение: правило параллелограмма

Если векторы a⃗ и b⃗ отложены от одной точки, то их сумма — вектор-диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вычитание векторов

Разность a⃗ − b⃗ — это вектор из конца b⃗ в конец a⃗ (при условии, что a⃗ и b⃗ отложены от одной точки).

a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗)

Умножение вектора на число

Произведение вектора a⃗ на число k — вектор, модуль которого равен |k|·|a⃗|.

Если k > 0 — сонаправлен a⃗; если k < 0 — противоположно направлен.

Единичный вектор (орт) —

Единичный вектор (орт)

вектор, модуль которого равен 1.

e⃗ = a⃗ / |a⃗|, |e⃗| = 1

Орт показывает направление вектора.

Координаты вектора

— это приращения координат: если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁)

Радиус-вектор точки —

Радиус-вектор точки

вектор, начало которого — начало координат O, а конец — данная точка M.

OM = (x; y)

Скалярное произведение —

Скалярное произведение

это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

a⃗ · b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos α

Скалярное произведение через координаты

Если a⃗ = (x₁; y₁) и b⃗ = (x₂; y₂), то

a⃗ · b⃗ = x₁·x₂ + y₁·y₂

Отсюда: cos α = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗|·|b⃗|).

Перпендикулярность и коллинеарность

a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0

a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁/x₂ = y₁/y₂

Проекция вектора на ось —

Проекция вектора на ось

это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «−».

прₓ a⃗ = |a⃗|·cos α

Разложение вектора по двум неколлинеарным

Любой вектор можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным векторам:

c⃗ = x·a⃗ + y·b⃗

Четырёхугольники

Четырёхугольник — фигура из четырёх точек и четырёх соединяющих их отрезков. Сумма внутренних углов любого четырёхугольника = 360°.

Четырёхугольник — это

фигура, состоящая из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, соединяющих эти точки.

Точки A, B, C, D — вершины, отрезки AB, BC, CD, DA — стороны, AC и BD — диагонали.

Сумма углов четырёхугольника

равна 360°.

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

Доказывается разбиением диагональю на два треугольника: 180° + 180° = 360°.

Параллелограмм — это

четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

AB ∥ CD, BC ∥ AD

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны равны.

2. Противоположные углы равны.

AB = CD, BC = AD, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

Диагонали параллелограмма

точкой пересечения делятся пополам.

AO = OC, BO = OD

Признак параллелограмма

Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то он параллелограмм.

Другие признаки: по равенству противоположных сторон; по равенству противоположных углов; по диагоналям, делящимся пополам.

Прямоугольник — это

параллелограмм, у которого все углы прямые.

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника

равны.

AC = BD

Обратно: если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник.

Ромб — это

параллелограмм, у которого все стороны равны.

AB = BC = CD = DA

Диагонали ромба

взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

AC ⟂ BD

Квадрат — это

прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб, у которого все углы прямые).

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Теорема Вариньона

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Его площадь равна половине площади исходного четырёхугольника.

Средняя линия трапеции

параллельна основаниям и равна их полусумме.

MN = (BC + AD) / 2

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°

Описанный четырёхугольник

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

AB + CD = BC + AD

Окружность

Окружность — множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра). Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Окружность — это

множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра).

Обозначается O — центр, R — радиус. Уравнение: (x − a)² + (y − b)² = R².

Радиус, диаметр, хорда

Радиус — отрезок от центра до точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр: d = 2R.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Касательная и радиус

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

OT ⟂ a

Две касательные из одной точки

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

PA = PB

Диаметр и хорда

Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

AM = MB

Центральный угол —

Центральный угол

угол с вершиной в центре окружности. Он равен дуге, на которую опирается.

∠AOB = дуга AB

Вписанный угол —

Вписанный угол

угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды. Равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠ACB = ½ дуги AB

Вписанный и центральный

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

∠ACB = ½ ∠AOB

Вписанные углы на одну дугу

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠ACB = ∠ADB

Угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

∠ACB = 90°

Пересекающиеся хорды

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

AP · PB = CP · PD

Касательная и секущая

Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

PT² = PA · PB

Дуга окружности

Дуга — часть окружности между двумя точками. Измеряется в градусах.

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.

Внешнее касание двух окружностей

При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов:

O₁O₂ = R₁ + R₂

Окружность, вписанная в треугольник

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Радиус: r = S / p

Окружность, описанная около треугольника

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

R = a·b·c / (4S)

Вписанный четырёхугольник

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°

Описанный четырёхугольник

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

AB + CD = BC + AD

Площади фигур

Сводная секция: формулы площадей всех основных плоских фигур и их элементов.

Площадь прямоугольника

равна произведению смежных сторон.

S = a · b

Площадь квадрата

равна квадрату его стороны.

S = a²

Площадь параллелограмма

равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = a · h

Площадь треугольника (через сторону и высоту)

Площадь треугольника

равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = ½ · a · h

Площадь треугольника (через две стороны и угол)

Площадь треугольника через две стороны и угол

равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

S = ½ · b · c · sin α

Формула Герона

Площадь треугольника через три стороны:

S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))

где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.

Площадь трапеции

равна произведению полусуммы оснований на высоту.

S = ½ · (a + b) · h

Площадь ромба

равна половине произведения его диагоналей.

S = ½ · d₁ · d₂

Площадь четырёхугольника через диагонали

равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

S = ½ · d₁ · d₂ · sin φ

Площадь круга

равна произведению числа π на квадрат радиуса.

S = πR²

Длина окружности

равна произведению числа π на диаметр (или на удвоенный радиус).

C = πd = 2πR

Площадь сектора

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

S = (πR² · α) / 360°

Площадь сегмента

Сегмент — часть круга между хордой и дугой. Находится как разность площадей сектора и треугольника.

S = S_сектора − S_треугольника

Площадь кольца

Кольцо — часть плоскости между двумя концентрическими окружностями.

S = π(R² − r²)

Площадь правильного многоугольника

равна половине произведения периметра на апофему (радиус вписанной окружности).

S = ½ · P · r

Площадь треугольника через радиусы

Через вписанную окружность: S = p · r.

Через описанную окружность: S = a·b·c / (4R).

p — полупериметр, r — вписанный радиус, R — описанный радиус.

Площади подобных фигур

относятся как квадрат коэффициента подобия.

S₁ / S = k²

Пример: k = 2 ⇒ S₁ = 4S.

Сводка формул

Сводка формул площадей

Прямоугольник: S = a·b

Треугольник: S = ½·a·h

Параллелограмм: S = a·h

Трапеция: S = ½·(a+b)·h

Ромб: S = ½·d₁·d₂

Круг: S = πR²

Видео-разборы

Поясняющие видео по темам курса.

Графики синуса, косинуса, тангенса

Тригонометрические функции

Наглядно объясняется, как устроены графики тригонометрических функций sin, cos и tg, и как они связаны с единичной окружностью.

Применение

Реальные задачи, где работают изученные теоремы: подобие, теорема Пифагора, площади, окружность.

Высота дерева по тени

Измеряем тень дерева L и тень человека l, зная рост человека h. Тогда:

H = (h · L) / l

Работает по I признаку подобия (по двум углам: общий угол солнца + прямые углы).

Высота флагштока через зеркало

Кладём зеркало на землю и отходим, пока не увидим верхушку флагштока. Тогда:

H / h = L / l

Подобие по двум углам: угол падения = угол отражения, плюс прямые углы.

Высота фонаря через тень

Источник света + подобие треугольников позволяют найти высоту объекта по его тени.

Тот же принцип, что и с солнцем, но источник точечный — треугольники подобны по двум углам.

Ширина реки

Строим на берегу вспомогательный прямоугольный треугольник, подобный искомому, и находим ширину через пропорцию.

AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁

Расстояние до недоступной точки

Классическая задача: как найти расстояние до объекта на другом берегу, не переплывая реку.

Через два подобных треугольника с известными сторонами на доступном берегу.

Высота самолёта (через угол)

Измерив угол α и расстояние d по земле, находим высоту через тангенс:

h = d · tg α

Расстояние до горизонта

С высоты h над Землёй (радиус R) расстояние до линии горизонта:

d ≈ √(2Rh)

Выводится из теоремы Пифагора: (R+h)² = R² + d².

Длина лестницы

Если лестница стоит у стены, её длина находится по теореме Пифагора.

c² = a² + b²

Длина троса-оттяжки

Столб высотой b, точка крепления в a метрах от основания — трос натянут к земле.

c² = a² + b²

Диагональ участка

Прямоугольный участок 12 × 9 метров. Диагональ — кратчайшее расстояние между углами:

d = √(12² + 9²) = √225 = 15 м

Диагональ телевизора

Экраны обычно в формате 16:9. Зная ширину или высоту, находим диагональ:

d² = (16x)² + (9x)²

Площадь поля-трапеции

Поле имеет форму трапеции с основаниями 80 и 120 м и высотой 50 м.

S = ½ · (80 + 120) · 50 = 5000 м²

Площадь двускатной крыши

Крыша — два треугольника с общим основанием 2a и высотой h. Площадь:

S = a · h

Сколько краски нужно?

Чтобы покрасить стену, вычитаем площадь двери и окна:

S = a · h − S_двери − S_окна

Площадь круглой клумбы

Клумба радиусом 3 метра. Сколько нужно земли и рассады?

S = πR² ≈ 3,14 · 9 ≈ 28,3 м²

Колесо велосипеда и одометр

Зная радиус колеса, находим путь за один оборот:

C = 2πR

При R = 35 см: C ≈ 220 см. Умножаем на число оборотов — получаем путь.

Площадь сечения трубы

Площадь материала трубы = площадь кольца между внешним и внутренним радиусами:

S = π(R² − r²)

Расстояние между точками на карте

Если известны координаты двух точек A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), расстояние:

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Это теорема Пифагора в координатах.

Метод координат

Геометрия через числа: положение точки на плоскости задаётся парой координат (x; y). Это связывает геометрию с алгеброй.

Точка на координатной плоскости

Положение точки задаётся парой чисел (x; y): абсцисса и ордината.

M(x; y)

Оси координат: Ox — горизонтальная, Oy — вертикальная. Пересечение — начало координат O(0; 0).

Расстояние между двумя точками

Выводится из теоремы Пифагора: разность координат — катеты, расстояние — гипотенуза.

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Середина отрезка

Координаты середины — средние арифметические координат концов.

M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2)

Расстояние до начала координат

Частный случай формулы расстояния, когда одна из точек — начало O(0; 0).

d = √(x² + y²)

Пример: M(4; 3): d = √(16+9) = 5.

Уравнение прямой

Прямая задаётся угловым коэффициентом k и сдвигом b по оси Oy.

y = kx + b

Угловой коэффициент

Отношение приращения y к приращению x. Показывает наклон прямой к оси Ox.

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Общее уравнение прямой

Любую прямую можно записать в виде линейного уравнения:

Ax + By + C = 0

Пример: 2x + 3y − 6 = 0.

Уравнение прямой через две точки

Если известны две точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), прямая задаётся пропорцией:

(x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁)

Точка пересечения прямых

Находится как решение системы уравнений этих прямых.

Пример: y = 0.5x + 1 и y = −x + 4 → M(2; 2).

Условие параллельности

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

k₁ = k₂

Условие перпендикулярности

Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно −1.

k₁ · k₂ = −1

Угол между прямыми

Тангенс угла между прямыми выражается через их угловые коэффициенты.

tg α = |(k₂ − k₁) / (1 + k₁k₂)|

Уравнение окружности

Окружность с центром C(a; b) и радиусом R:

(x − a)² + (y − b)² = R²

Это следствие формулы расстояния: все точки окружности удалены от центра на R.

Касание окружности и прямой

Прямая касается окружности, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу.

d(C, l) = R

Расстояние от точки до прямой

Для прямой Ax + By + C = 0 и точки M(x₀; y₀):

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Расстояние между параллельными прямыми

Для прямых Ax + By + C₁ = 0 и Ax + By + C₂ = 0:

d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)

Пример: расстояние между точками

Найти расстояние между A(1; 1) и B(5; 4):

AB = √((5−1)² + (4−1)²)

AB = √(16 + 9) = √25 = 5

Сводка формул метода координат

Расстояние: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Середина: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2)

Прямая: y = kx + b

Параллельность: k₁ = k₂

Перпендикулярность: k₁·k₂ = −1

Окружность: (x−a)² + (y−b)² = R²