Геометрия - наука, занимающаяся изучением геометрических фигур

Общая задача геометрии

Общая задача геометрии

зная одни свойства фигуры - определить другие

Первая задача геометрии

Первая задача геометрии - cравнение фигур.

Какие размеры достаточно знать, чтобы судить равны, фигуры или нет?
Чтобы не измерять всё, а как можно меньше.

Фигура в геометрии - это

Фигура в геометрии - это

1. мысленный образ предмета, в котором сохраняется только форма и размеры, и только они принимаются во внимание.
2. часть плоскости, которая ограничена со всех сторон линиями.
Пример: Отрезок - это образ нити.

Две фигуры равны ...

Две фигуры равны

если они совпадут при наложении

ПРОСТЕЙШИЕ ФИГУРЫ

Точка

Точка - это

абстрактный(не существующий в реальности) объект, который не имеет ни высоты, ни длины.
Точки обозначаются БОЛЬШИМИ латинскими буквами.

Линия

Линия - это

геометрическая фигура, которая может быть получена в результате непрерывного перемещения точки.
Виды линий: прямая, кривая, ломаная, луч

Прямая

Прямая - это

бесконечная линия которая не искривляется.
Прямые обозначаются МАЛЫМИ латинскими буквами.
Строится по двум точкам.

Отрезок

Отрезок -

часть прямой, заключенная между двумя точками.

Луч (полупрямая) это

Луч (полупрямая) это

часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца
Обозначают малой латинской буквой либо двумя большими: начало луча и точку на нём.

Угол - это

Угол - это

два луча, исходящие из одной точки

Биссектриса - это

Биссектриса - это

ЛУЧ, исходящий из угла и делящий его на два равных угла.

Диагональ - это

Диагональ - это

отрезок соединяющий противоположные углы.

Перпендикулярные прямые -

Перпендикулярные прямые -

пересекаются под прямым углом.

Перпендикуляр к прямой - это

Перпендикуляр к прямой - это

ОТРЕЗОК находящийся на прямой, перпендикулярной к данной
и имеет точку пересечения с ней одим из своих концов.

Полуплоскость

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.
Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Многоугольник

Многоугольник - это

замкнутая ломаная линия (без самопересечений)

ЛИНИИ

Ломаная линия

Ломаная линия -

последовательное соединение нескольких отрезков, под углами отличными от 180°.

Замкнутая / НЕзамкнутая линия

Замкнутая линия - когда

начало и конец совпадают, если нет, то "незамкнутая".

Простая ломаная / С самопересечением

Простая ломаная

не имеет самопересечений

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Многоугольник называется невыпуклым -

если он лежит по разные стороны от прямой проходящей через две его соседние вершины

УГЛЫ

Прямой угол

Прямой угол

равен 90 градусов

Острый угол

Острый угол

меньше 90 градусов

Тупой угол

Тупой угол

больше 90 градусов

Развёрнутый угол

Развёрнутый угол

угол, стороны которого лежат на одной прямой, а его градусная мера равна 180°.

Смежный угол

Смежный угол

Два угла, у которых одна общая сторона, а две другие являются дополнительными лучами, называют смежными
Сумма смежных углов 180°

Вертикальные углы

Вертикальные углы

РАВНЫ
стороны одного угла являются продолжениями другого

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника

при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Внутренние односторонние углы

Внутренние односторонние углы

Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренние односторонние

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы

Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренние накрест лежащие

Соответственные углы

Соответственные углы

Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей

Параллельность прямых

Две прямые, параллельные третьей, ...

Две прямые, параллельные третьей,

параллельны друг другу
Если a||c и b||c, то a||b.
Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Если внутренние накрест лежащие углы равны

Если внутренние накрест лежащие углы равны,

1. то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
2. то прямые параллельны

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°,

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°,

1. то внутренние накрест лежащие углы равны.
2. то прямые параллельны

Две прямые, перпендикулярные третьей,

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны

Если соответственные углы равны, то прямые

Если соответственные углы равны, то прямые паралельны

Аксиомы

Через любые две точки можно провести ...

Через любые две точки можно провести

прямую, и притом только ОДНУ.

Из трёх точек на прямой одна и только одна ...

Из трёх точек на прямой одна и только одна ...

лежит между двумя другими.

Длина отрезка равна

Длина отрезка равна

СУММЕ длин его частей.

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны если у них

Треугольники равны если у них

равны две стороны и угол между ними.

Треугольники равны если у них

Треугольники равны если у них

равны сторона и прилежащие к ней углы.

Треугольники равны если у них

Треугольники равны если у них

равны все три стороны

Теоремы

В равнобедренном треугольнике углы при основании

В равнобедренном треугольнике углы при основании

равны

В равнобедренном треугольнике МЕДИАНА, проведённая к основанию, является

В равнобедренном треугольнике МЕДИАНА, проведённая к основанию, является

биссектрисой, высотой

Если в треугольнике два угла равны, то

Если в треугольнике два угла равны, то он

равнобедренный

--------

Построение

Середина отрезка

Середина отрезка

Провести две окружности радиусом = длине отрезка.
Через точки пересечений окружностей провести прямую.
Точка пересечения прямой и отрезка - середина.